世界上最美丽的23个公式

数学中不是缺少美,而是缺少发现美的眼睛 引人类智者一生的凝练在自然爱好者眼中,人间最美是高山流水!在人文阅读者眼中,人类至美是诗词歌赋!在爱情至上者眼中,世间最美是化蝶共舞。 而在科学的世界,人间最美的是“天书”般的方程:从数学基石1+1=2到揭示电磁现象的“麦克斯韦方程”,从开启暗黑之门的E = mc²到神秘莫测的“薛定谔方程”,从简洁至极的e^πi+1=0到让相对论量子理论牵手的“狄拉克方程”……这些公式如此美丽而精妙,是地球上伟大智者一生的凝练。 很多时候,我

数学中不是缺少美,而是缺少发现美的眼睛

 

人类智者一生的凝练


在自然爱好者眼中,人间最美是高山流水

在人文阅读者眼中,人类至美是诗词歌赋

在爱情至上者眼中,世间最美是化蝶共舞

 

而在科学的世界,人间最美的是“天书”般的方程:

数学基石1+1=2到揭示电磁现象“麦克斯韦方程”

从开启暗黑之门E = mc²到神秘莫测的“薛定谔方程”

从简洁至极的e^πi+1=0到让相对论量子理论牵手的“狄拉克方程”……

这些公式如此美丽而精妙,是地球上伟大智者一生的凝练。

 

很多时候,我们被刷题给刷到麻木了,没有意识到它的美!

今天,硬核温暖的《公式之美》正式上市。
43位数理领域的教授、专家、老师、编辑和你
一起欣赏至美公式
有趣而美好,人人都可以爱上数学。

 


01

 1+1=2 



 发现者    

 题词  

可别嫌它简单,这个三岁小孩都知道的公式是人类的奇点,它昭示着自然数的诞生,引发持续数千年的数字大爆炸,数学创生的基本公理蕴含其中。


要捋清这个公式的逻辑可不简单,为什么1+1=2而不是等于3?是谁规定了运算法则?奇数加奇数为什么等于偶数?数字2为何是唯一为偶数的质数


他的衍生品“1+2=3”所引发的哥德巴赫猜想,困扰人类数百年,将很多高智商群体搞出神经病。

而它究竟从何而来,又将引领人类向何而去?人生识字忧患始,人类的所有烦恼,也是不是因为知道了1+1=2呢?

 

 

02

 毕达哥拉斯定理 

Pythagorean theorem

 

 发现者   毕达哥拉斯、商高

 题词 

这个公式的联合发现人是中国的商高和古希腊的毕达哥拉斯。商高说出了这一定理的表象:“勾三股四弦五”,却没有去深究这背后的奥秘,作为商高的子孙我们得反思一下自己,本来可以拿到这个公式的定义权的。


毕达哥拉斯则得出背后的规律,这位数字原教旨主义者、高举“万物皆数”的暴君,爱上数学真不是故弄玄虚,毕达哥拉斯定理是人类历史上第一次让数字与几何完美融合。


牵一发而动全身,毕达哥拉斯定理在沟通数字与客观世界的同时,还导致了人类历史上第一次数学大危机——√2无理数的发现。

 

 

03

 欧拉公式 

Euler's formula

 

 发现者   欧拉

 题词 

欧拉28岁右眼失明,年过60完全失明,多舛多才,凭数学、力学和航海建筑学等方面的广博造诣,被评为欧洲历史上最多产的数学家,十八世纪被称为欧拉世纪也毫不过分。


欧拉内心纯粹,正如这个欧拉公式,也是用最简明的方式,沟通了世界上几乎全部的数学元素。无理数e,它是自然对数的底,隐藏于飞船的速度和蜗牛的螺线。


无理数π,隐藏于世上最完美的平面对称图形,引爆数字狂热。最简单的两个实数01,是构造代数的基础。


甚至,最重要的虚单位i也在其中。在欧拉之后的未来,虚数奠定了电子学革命的量子力学理论基础。

 

 

04

 万有引力 

Law of universal gravitation

 

 发现者   牛顿

 题词 

自然和自然律隐没在黑暗中:

神说,让牛顿去吧!万物遂成光明。

天地玄黄,宇宙洪荒,日月盈昃,辰宿列张……


在牛顿之前,人类认为这一切都掌控在神的手中;而牛顿之后,人类才知道,天和地以万有引力为法则,在牛顿的定律中运转。


宇宙和万物找到了统一规律,物理学达到第一次真正的统一。

所以有人说:道法自然,久藏玄冥;天降牛顿,万物生明。


而后,以牛顿为代表的机械论之自然观,在整个自然科学领域中占据长达200多年的统治地位,现代科学由此形成。

 


05

 黎曼猜想 

Riemann Hypothesis

 

 发现者   黎曼

 题词 

“数学界无冕之王”希尔伯特表示,如果在死后500年能重返人间,他最想问:

是否已经有人解决了黎曼猜想?过直线外一点,可作其几条平行线?


黎曼并没有意识到自己对这个世界的影响会如此深远,临走之前非常平静,没有挣扎也没有临终痉挛,仿佛饶有兴趣地观看灵魂与肉体的分离。


《素数之恋》一书中谈到:

他妻子给他拿来面包和酒,他要她把他的问候带给家里人,并对她说:“亲亲我们的孩子”。她为他诵读了主祷文,他的眼睛虔诚地向上仰望,几次喘息以后,他纯洁而高尚的心脏停止了跳动。


他长眠在塞拉斯加教区比甘佐罗教堂的院子里,墓碑上的碑文是:

万事都互相效力,叫爱神的人得益处。

 


06

 质能方程 

Mass–energy Equivalence

 

 发现者   爱因斯坦

 题词 

1905年,史上最业余的公务员爱因斯坦,提出了若干颠覆人类三观的理论,想象力和胆量都比正常人高出一大截的爱因斯坦宣称,能量质量是可以转换的,一个小小的水杯都能炸掉半个城市,不仅如此,能量和质量之间的关系还超级简单。


爱因斯坦曾戏称:

“当结论看起来很简单时,一定是上帝在回答。”

此番言论无疑打了无神论者爱因斯坦的脸。


但换句话说,如果这个方程来自上帝,那原子弹一定是上帝对人类开的玩笑。但这个方程的出现,也打开了潘多拉魔盒,全人类都在这个公式下已经颤抖了60年!

 

 

07

 麦克斯韦方程组 

Maxwell's Equations

 

 发现者   麦克斯韦

 题词 

如果你能看懂这组方程,那么恭喜你,高数基本不会挂掉了。

如果你能看懂这组方程虎躯一震,认为只有上帝才能创造如此完美公式,那更恭喜你,你拥有强大的数学审美


因为,全世界至少有100个物理学家跪倒在它的石榴裙下。简单地说,这是一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程,由两个散度方程、两个旋度方程组成,相互之间耦合,变化万千。


麦克斯韦的公式融合了电与磁的四大定律,在此之后,电即是磁,磁即是电。


这个方程组是人类历史上空前绝后的物理学大一统,给物理学家打了一剂鸡血,以爱因斯坦为首的众多科学家,都紧跟麦克斯韦的脚步,寻找物理学大一统。

 

 

08

 薛定谔方程 

Schrödinger equation

 

 发现者   薛定谔

 题词 

关于薛定谔,恐怕他的那只猫比他本人更加出名,因为薛定谔的猫虽然成功在宏观层面阐释了量子叠加原理问题,但却像一个潘多拉魔盒,引出了平行宇宙等一系列争议,搞得很多科学家都怀疑人生


最后连薛定谔都搞不懂薛定谔方程了,它相当于量子力学界的牛顿第二定律,只不过,公式的主人一个是史上最傲骄的处子,一个是荷尔蒙泛滥成灾的把妹大神。

 

回归正题,薛定谔方程颠覆了人类所认知下,这个确凿无疑的世界。

薛定谔说,世界是随机的,这一结论直接挑战了爱因斯坦建立的确定宇宙观,薛定谔方程为好莱坞大片提供了理论基础,骗取了无数票房。迄今为止,量子力学相对论是关于宇宙彼此不同,又平分秋色的解释。

 


09

 香农定律 

Shannon Theory

 

 发现者   香农

 题词 

进入信息时代,你们除了要感谢数学家傅立叶,还要好好感谢信息领域的牛顿——香农,他是当之无愧的信息论师祖。那些玩着“王者毒药”,看着《花木兰》,拿着卫星电话旅游,电话里与女友你侬我侬的朋友记住了,香农是我们的大恩人。


如果说傅立叶启发人们如何传输信号,那么香农的功劳相当于搭建了信息世界交通网络。香农定律则严格证明,在被高斯白噪声干扰的信道中,计算最大信息传送速率C是什么。喝水不忘掘井人,别只记得乔布斯,还有背后的大神香农。

 

 

10

 狄拉克方程 

Dirac Equation

 

 发现者   狄拉克

 题词 

狄拉克方程的出现,让整个物理学界长长舒了一口气,大家终于可以友好地做朋友。差点成功策反爱因斯坦投奔量子理论,他顺理成章地成了物理学界的和平使者,大神玻尔爱因斯坦也找到理由一起握手言欢,这个方程汇集了现代物理学的两大基石:

量子力学和相对论——描述微观世界的量子力学和描述高速运动物体特性的狭义相对论。


也许最重要的是,狄拉克方程预言了反物质(所有已知粒子的镜像)存在。2017年7月21日,4位华人科学家宣布找到正反同体的“天使粒子”,都不过是在验证1928年伟大的理论物理学家狄拉克(Dirac)作出惊人的预言:

宇宙中每一个基本费米粒子必然有相对应的反粒子。



11

 三体问题 

The Three-body Problem

 

 发现者   牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、庞加莱

 题词 

三体问题像个暴躁的国王,它喜怒无常的出行路线永远让人捉摸不定

当理论物理学家普遍开始绝望时,现实中的拉格朗日点已有所应用。


一切都是未知。摧毁三体的光粒文明,之所以能击中三体的一颗恒星,是因为他们解析出了三体运动,才能精确击中吗?这一切,并非仅仅是科幻,更要作出科学的理性思考。

 

 

12

 杨-米尔斯规范场论 

Yang-Mills Theory

 

 发现者   杨振宁、米尔斯

 题词 

2012年希格斯粒子发现后,“规范场论”最后一个缺陷被弥补,它统一了目前自然界的四种基本力中的三种,爱因斯坦穷尽后半生追求的“大统一理论”——“规范场论”正在步步逼近。


但物理学的终极奥义会走向哪里呢?

人类最伟大的科学家,纷纷踏上了那个用生命交换真理的祭坛。


这一小撮人一边追寻着梦寐以求的答案,一边走向最后的灭亡。

或许,这条路的终点,就是为了探寻宇宙的终极之美,很有可能为之付出了一切,也终究无法到达。

 

 

发现人文与数学之美


改编大师罗丹的话:

数学中不是缺少美,而是缺少发现美的眼睛。

我们以一首人文诗词来解释数学的美——大漠孤烟直,长河落日圆。



这首诗描绘了雄阔、壮美的大漠图景。从几何学的角度上看,“大漠”可视为一个平面,而直上“孤烟”是垂直于地面的直线(图1)。


第二句是是将横卧的长河视为一条直线,逐渐下沉的落日被视为一个,“长河落日圆”便是一个圆切于一条直线(如图2),两图对照,泾渭分明,简洁明了,刚柔相济。

 

任何自然的景致都会在历史波涛中湮没

江渚上的白发渔樵都会成过眼烟云

只有抽象出来的美感才会永垂不朽!


“大漠孤烟直,长河落日圆”正是几何学的高度凝练,人文与数学的美在这里相聚,才拥有了震撼千古的艺术魅力

 


N E W   B O O K

量子学派 x 北京大学出版社


四年倾心力作《公式之美》

43位专家审核

带你体验数字、字母符号

构成的  大道至简 

感受公式的简洁、优雅、深邃

与  震撼之美 


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本篇文章来源于微信公众号: 孤独大脑

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钱追人容易,人追钱很难

一问世间,钱是何物?直教生死相许。为什么赚钱总是一件很难的事情?自古以来,鸟为食亡,人为财死。谁赚钱都不是容易的事。人追钱很难。你看看早期的阿里,星巴克,Airbnb,为了要点儿活命钱,创始人一不要脸二不要命。而且,越是特别牛逼的公司,早期找钱越难。因为其新模式很难被投资人看懂。Facebook算是受苦较少的。不过,2004 年,彼得·蒂尔取得该公司 10.2% 的股份,只花了50 万美元。而且还是附加条件的债转股。那么,是不是有钱人追钱就要容易多了?也不是。还是彼得·蒂尔,Faceb

问世间,钱是何物?直教生死相许。

为什么赚钱总是一件很难的事情?

自古以来,鸟为食亡,人为财死。谁赚钱都不是容易的事。

人追钱很难。

你看看早期的阿里,星巴克,Airbnb,为了要点儿活命钱,创始人一不要脸二不要命。

而且,越是特别牛逼的公司,早期找钱越难。因为其新模式很难被投资人看懂。

Facebook算是受苦较少的。不过,2004 年,彼得·蒂尔取得该公司 10.2% 的股份,只花了50 万美元。而且还是附加条件的债转股。

那么,是不是有钱人追钱就要容易多了?

也不是。

还是彼得·蒂尔,Facebook刚上市,他就在每股 38 美元时卖了1680 万股。

上市后的 Facebook 股价一直在跌,他又在 20 美元左右的价格卖出近 2000 万股。

现在 Facebook 的股价是两百多。

回到现实中,我身边有不少朋友,手上有点儿钱,想追求5-8%的稳定回报,也并不容易。

难怪当年麦道夫,骗了各路精英600亿美金,承诺的不过是8%-12%“稳定”回报。

你看,即使是这个绝大多数人根本瞧不上的数字,前纳斯达克主席麦道夫也要靠骗才能“实现”。

所以,人追钱很难,不管是有钱人,还是没钱的人。


反过来,钱追人容易。

这里的钱追人,分为两种:

  • 投资人的钱追人;

  • 消费者的钱追人。

如你所见,热门公司投资人挤破头,多贵都有人投。

网红餐厅,哪怕要等位三个小时,照样门庭若市。

先说投资人的钱追人。

当钱变成赚钱的工具时,其实已经不是传统意义上的钱了,而是变成了筹码。

那么,筹码是如何发挥作用的呢?

我比较喜欢用物理里的“势能”来打比方。

势能,是储存于一物理系统内的一种能量,是一个用来描述物体在保守力场中做功能力大小的物理量

从物理意义上来说,势能表示了物体在特定位置上所储存的能量,描述了做功能力的大小。在适当的情况下,势能可以转化为诸如动能内能等其他能量。

常见的势能包括引力(重力)势能、弹力势能、化学势能。

最直观的就是我们中学时候的重力势能。

简单的隐喻就是:

  • 人追钱,是爬坡,当然难;

  • 钱追人,顺着坡滚下来,越滚越快,看起来很容易。

既然如此,钱要去哪里呢?

让我们的隐喻再大胆一点儿,不再顾及物理定律本身。

顺坡而下,钱追人,是为了发现价值洼地。

第一种:找到被低估的洼地。

这里指的是被错误定价的资产。

被低估的行业,被低估的品牌,被低估的公司,被低估的人。

以及被低估的技术趋势。

第二种:砸出洼地。

有些公司当时还是小池塘,但已经不小心淘出了点儿小金砂。

这时候,有的人满足于赶紧多淘点儿金砂,有的人则试图去找寻金脉,顺藤摸瓜找到大金矿。

当年京东找张磊要3500万美金,张磊说不行,除非你要3亿。

为什么?因为他洞察到,京东的机会是“亚马逊+UPS”,所以他投的钱,作为势能转换为动能,是要挖掘“仓储物流体系”这个金脉。

这个金脉,必须用大钱去砸出来。

所以,钱的势能,不仅包括其本身的,还包括钱的主人在认知上的势能。

第三种:拓宽拓深洼地。

2017年,高瓴以531亿港币收购百丽集团。“昔日鞋王”饱受电商冲击,日渐没落。这看起来不是一个好行业,更不是一个好时机。

张磊的秘密是:“数字化转型”。

我称之为“人肉+数字”。

百丽本身是很好的企业,有职业化的经营团队,拥有强大、管理完善的零售网络:包括2万多家直营店,8万多名一线零售员工。

这些“人肉”构建的体系,是一个巨大的价值洼地。

高瓴推动百丽干的“大工程”是:

实现全流程的数字化,将数据本身作为驱动公司发展的生产力

一个生动的小例子是:

某门店通过数据分析,发现一款新上线的鞋子试穿率排名第一,但转化率只有3%,实际调研后发现是因为鞋带过长。将这款鞋调回工厂改进后重新推出,转化率瞬间达到20%,这一单品就创造了千万级的销售额。

之所以说“人肉+数字”,是因为高瓴的“数字”,是百丽的“人肉”优势基础之上的锦上添花。

百丽本来就有很多洼地,高瓴将其资金和认知上的势能,转化为百丽数字化转型的动能,将这些洼地连接了起来,进而继续拓深。

这其实也是(投资人的)钱追人的下一个秘密--

第四种:将诸多细微洼地连接起来。

当然,这正是互联网企业所做的事情。

例如拼多多,一头的洼地网络,是社交网络世界里人们的无聊和游戏化的“贪便宜”,另一头的诸多洼地,是企业过剩的产能。

这是网络化的价值洼地。

互联网为什么厉害?就是能把价值洼地连起来,哪怕是荒漠里的一些小小的价值洼地,也可以连成一片巨大的绿洲。

还有一种投资人的洼地:假洼地。

例如那些虚假的风口和高科技,其实是前面的投资人利用羊群效应,忽悠后面的投资人接盘。

这也是一种雪崩式“势能”,势不可挡,但容易把自己埋进去。


倒过来想,要想自己成为“钱追人容易”的目标,就要让自己成为“价值洼地”。

大约有如下几种:

1、有深度挖掘了一个有极深洞见的洼地,需要资金的势能拓宽;

2、有广度。有一个覆盖面很大的洼地,需要资金来砸深;

3、有网络。有很多个“割裂”的价值洼地,或者是发现了割裂的价值洼地之间的网络,需要资金来实现数据和算法驱动的数字化连接。


再说一下消费者的“钱追人容易”。

我只想讲一点:转移概率。

假如一个街上,有两家奶茶店:A和B。

  • A奶茶店的顾客,在喝了奶茶之后,有70%的人会继续选择该店,有30%会选择去B奶茶店;

  • B奶茶店的顾客,在喝了奶茶之后,有90%的人会继续选择该店,有10%会选择去A奶茶店。

假如一开始的时候,A和B的顾客是一样多的,例如都是500个,请问经过一段时间后,两家的顾客分别是多少?

答案是:A店有250个顾客,B店有750个顾客。

我们变换一下条件。假如一开始的时候,这条街只有A一家奶茶店,1000个顾客全是A的。而B刚刚开张,1个顾客都没有。请问经过一段时间后,两家的顾客分别是多少?

答案还是:A店有250个顾客,B店有750个顾客。

如你所知,这是一个马尔可夫链的统计均衡


金钱的魅力,就在于其充满了随机性。

赚钱这件事儿,看起来和文凭、智商等因素的关联概率不那么大(当然会有)。

人们对于赚钱这件事儿,就像进入了赌场的赌徒,觉得“人人都有一次中大奖的机会”。

事实果然如此吗?

既然要研究随机漫步的“发财”,就要研究随机漫步的数学原理:

马尔可夫链。

马尔可夫链,因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名,为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程

该过程要求具备“无记忆”的性质:下一状态的概率分布只能由当前状态决定,在时间序列中它前面的事件均与之无关。

拿上面的奶茶店为例,你下一杯奶茶喝A或者B,取决于你现在所喝的奶茶的感受。

你可能会说,我喝了好久A了,喝出感情了,怎么能说和此前无关呢?

不管你对A的感情分有多高,也都被时光沉淀到你当下这杯奶茶的体验当中了。所以,你的下一次选择,依然只取决于你这一次喝奶茶的体验。

这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质

在马尔可夫链的每一步,系统根据概率分布,可以从一个状态变到另一个状态,也可以保持当前状态。

状态的改变叫做转移,与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。

我画一下奶茶店的转移概率:

如上,箭头指向自己的,是指客户留存。指向别人,则是客户流失。

马尔可夫模型的一个特点是:当转移概率固定时,不管初始数是多少,总会达到一个“命中注定”的、唯一的统计均衡。

所以,即使奶茶店B刚开张,一个顾客也没有,要不了多久,也会抢走大部分奶茶店A的顾客。

不管A开始的时候多么有优势,钱最后还是追着B去了。

一种对于命运的数字隐喻是“大数定律”。我在《人生算法》这本书里也说过,一个骰子扔出某个数字的概率,取决于自身的结构,与手法和努力无关。

但是,大数定律里的抛硬币游戏,需要每一次抛硬币都是完全独立的。

而数学家帕维尔·涅克拉索夫则认为:现实世界中的事物是相互依存的(比如人的行为),所以现实中的事物并不恰好符合数学模式或分布。

马尔可夫不这么认为。他建立了一个模型,在这个模型中,结果的概率取决于以前发生的事件,但长期来看仍然遵循大数定律。

《天才与算法》里写道:

抛硬币的结果并不取决于以前抛硬币的结果,所以这不是马尔可夫理想的模型。

但是,如果增加一点依赖关系,使下一个事件取决于刚刚发生了什么,而不是整个系统如何影响了当前事件,又会怎么样呢?

每个事件的概率仅取决于先前事件的一系列事件被称为马尔可夫链。

预测天气就是一个例子:明天的天气肯定取决于今天的天气,但并不特别依赖于上周的天气。

由此,我们结合奶茶店的例子,可以发现马尔可夫链“宿命论”般的特点:

1、历史是无关紧要的,你再百年老店也没用;

2、初始条件是无关紧要的,你再高市场占有率也没用;

3、各种折腾也是没用的。你再营销,再数字化,做各种视频拉来流量,都无法改变宿命般的统计均衡,然后保持不变。

所以,消费市场的“钱找人”,最终取决于转移概率。

大多数“人追钱”,就像转移概率低的A奶茶店,看着客人一天天变少,拼命去做各种市场动作,不仅徒劳,甚至是在给B奶茶店培养客户。

这就是“人追钱很难”。

而B奶茶店呢?只管努力提高每个客户的“转移概率”,客户自然会越来越多。

这就是“钱追人容易”。

钱是没有良心的,而马尔可夫链的一个重要性质就是:无记忆。

没良心+无记忆,决定了消费者市场的“钱追人容易,人追钱很难”。

本质上,墨菲定律也是人追钱难的原因之一。

不管你干啥事儿,这个宇宙就是处心积虑地和你对着干。

不光赚钱,盖茨连想把钱捐出去都千辛万苦。

在某些属性的市场,垄断者可能利用不兼容的限制,彻底斩断“转移概率”,你的奶茶再好喝,系统再好用,也没用。例如设置封闭系统,提高转移成本。

转移概率给我们的启发还有,最好的市场,是有存量的钱可供“转移”。

反之,去做一个很小的、需要培育的市场,实在是太难了。

就像特斯拉,其市场策略不是去开拓电动车市场,而是“转移”了传统7万美金以上豪华车(奔驰宝马们)的市场。

最后


相对而言,金钱比世界上的很多东西,都要单纯、善良、纯洁得多。

金钱也是命运的投影,变幻莫测,充满随机性。

钱永远给人一种触手可及的幻觉,但不管是穷人,还是富人,都发自心底地觉得:

赚钱真难。

本文的主要观点是:

  • 从投资的角度看,钱生钱,靠的其实是用势能,来发现或放大价值洼地;

  • 从赚钱的角度看,钱生钱,靠的是你在某个商品或服务上的“转移概率”优势。

没错,金钱世界,也是由算法驱动的。

为了让这个游戏充满魅力(主要是指不确定性,犹如美女的猜不透),规则设定了:对金钱算法的探索,是永无止境的。

人追钱很难,这令人心烦。

但是,假如这个世界人人赚钱都很容易,那多么让人绝望啊。


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